揭密！日本麻將天聽機率到底有多高？

之前有計算過台灣麻將的天聽機率

但沒有算過日本麻將的

應大家熱烈要求(?)，這次就來算看看日本麻將的天聽機率吧~

日本麻將

先撇開日麻與台麻之間規則的差異，我們只討論會影響的天聽手牌的規則差異。

• 日本麻將與台灣麻將不同，平常手上是 13 張，胡牌時總共為 14 張，比台灣麻將還少一個完整的搭子。
• 日本麻將有兩種特別的胡牌型：【國士無雙】和【七對子】。

國士無雙就是所有花色的 1 和 9 各一張，加上所有字牌各一張，這樣共有 13 張，再加上前者任何一張，即為國士無雙。

七對子應該比較好理解，就是"七"個"對子"：

計算

大致上我們一樣採用與 前篇 一樣的算法，最後我們加上七對子和國士無雙的數量，再計算天聽機率。

由於日麻只需要 4 組搭子，因此我們計算上只需要把 5 組搭子改為 4 組搭子即可，重新計算後有 11,353,128,141,498 組胡牌手牌。

接下來算國士無雙的機率，國士無雙包含著 12 種單張的牌和 1 種兩張的牌，共有 13 種不同的牌，因此計算方式如下：

$$ [\dbinom{4}{1}^{12} \times \dbinom{4}{2}] \times 13 $$

12 種牌從 4 張牌裡面挑出 1 個，1 種牌從 4 張牌裡面挑出 2 個，且重複的牌共有 13 種選擇，計算後有 1,308,622,848 種手牌。

接著是七對子，七對子計算時比較複雜，由於有些手牌 (如下) 可以是七對子也可以是一般 (4 搭子 + 1 對子) 胡牌的手牌：

上方的手牌，既可以看做 4 搭子 + 1 對子，也可以看成是 7 個對子，我們在計算一般的胡牌手牌的時候已經被包含進去了，於是我們計算七對子的時候，最後要再扣這種會導致重複計算的手牌。

4 張一樣的牌

⚠️ 注意：下方的手牌並不是七對子，因為有 4 張一樣的牌。

七對子是從 34 種牌中挑出 7 種牌，並且每種牌都有 2 張，因此計算方式如下：

$$ [\dbinom{34}{7} \times \dbinom{4}{2}^7 ] \times 13 $$

一共有 1,505,948,184,576 種手牌是七對子。

重複的部分，我是在計算一般牌型的手牌時，再檢查是否全部都是對子，紀錄全部都是對子的手牌數量有多少，一共有 1,306,741,248 個手牌。

結果

在計算後，得到了如下的結果：

• 一般牌型：11,353,128,141,498 個
• 國士無雙：1,308,622,848 個
• 七對子：1,505,948,184,576 個
  • 重複：1,306,741,248 個

最後計算：

$$ \frac{\big( 一般牌型 + 國士無雙 + 七對子 - 重複 \big)}{\dbinom{136}{14}} \approx \frac{1}{330530}$$

日麻的天聽機率大約為 33 萬分之一。

Reference

• 麻雀の数学