在台灣，麻將應該很多人都打過，但有誰天胡過呢？

可能有大大有遇過，但至少本貓我是沒遇過啦 ┐(´д`)┌

為了證明我不是非洲人，所以我就來算算看天胡的機率。

排列組合

在遊戲剛開始，大家會拿到 16 張牌，莊家開門後手上會有 17 張牌。

這時如果莊家胡了，那就稱作天胡。

所以我們要算的就是直接從麻將牌堆裡面隨機拿 17 張可以直接胡牌的機率。

這時候是不是有人說：“這簡單，我只要將從牌堆裡面拿 17 張的所有可能找出來，並檢查看看是否胡牌，統計一下就能知道機率了”。

想法很好，但計算太久了，你算看看，麻將包含 4 種花色，萬筒條共有 $9\times4\times3$ 個，字牌有 $7\times4$ 個，一共有 136 張。

算上排列組合之後共有 $\dbinom{136}{17} = 1,845,382,436,487,682,488,000$ 種拿取的方法 (同樣的牌都當做不同)。

這簡直是天文數字，不知道要算多久，因此，我們既然沒辦法列出所有可能，但我們換個方向，是不是可以找出所有胡牌手牌？

胡牌

大家都知道，台灣麻將胡牌的時候要有 5 組面子 (刻子或順子) 加上 1 個對子 (眼睛)，像下圖這樣：

面子、順子、刻子和對子

面子：順子或是刻子

• 順子：數字連續三張同花色的牌

• 刻子：三張相同的牌

• 對子：兩張相同的牌

我們可以注意到 5 組面子和 1 個對子可能落在萬筒條字中任何一個。

單看一種花色的話，其實有 12 種狀態：

• 0 個對子
  • 0 個面子
  • 1 個面子
  • 2 個面子
  • 3 個面子
  • 4 個面子
  • 5 個面子
• 1 個對子
  • 0 個面子
  • 1 個面子
  • 2 個面子
  • 3 個面子
  • 4 個面子
  • 5 個面子

大致上來說就是 0 ~ 5 個面子再算上有沒有對子。

萬筒條字每一種花色都有這 12 種狀態，透過組合，就能形成一組胡牌手牌了。

例如：我們萬拿 1 組面子，筒也拿 1 組面子，條拿 3 組面子，字拿 1 個對子，這樣共有 5 組面子和 1 個對子，可以胡牌。

也可以萬拿 3 組面子和 1 組對子，筒也拿 1 組面子，條拿 1 組面子，這樣也有 5 組面子和 1 個對子。

列出其中幾種組合：

到這裡，你是不是發現到，如果我們能知道這每一種組合類型的胡牌手牌有多少種，那全部加起來就是我們所要找的胡牌手牌個數！！！

列舉

如果說，用上面的例子，萬拿 1 組面子，筒也拿 1 組面子，條拿 3 組面子，字拿 1 個對子。

我分別告訴你萬筒條字在各自的條件下，有多少個可能，相信大家都能知道那個例子的條件下共有多少胡牌手牌，沒錯，全部相乘起來。

假設萬 1 組面子的可能共有 a 個，筒 1 組面子的可能有 b 個，條拿 3 組面子的可能有 c 個，字拿 1 個對子的可能有 d 個，那該例子的胡牌手牌就是 $a\times b\times c \times d$。

至於計算萬拿 1 組面子的可能的方式，我們就直接列舉所有可能，並計算目標個數。

不同張牌

⚠️ 注意：由於我們將所有牌當作不同張牌，因此我們在計算的時候要考慮到選擇的問題。

例如：345 萬，3 萬可以從 4 張裡面選擇 1 張，4 萬和 5 萬也是，這樣共有 $4^3$ 種不同的組合，雖然都是 345 萬，但是因為用了不同的 3 萬、4 萬和 5 萬，因此被當作不同的組合。

如果用 Python 寫起來的話，大概長下方這樣。

# 萬有 1 萬到 9 萬，每個共有 0 張到 4 張
numEachTile = [list(range(5)) for i in range(9)]
allPossibleHands = list(itertools.product(*numEachTile))

# 對於每種萬的手牌
for hand in allPossibleHands:
  # 由於我們只拿一組，因此就拿 3 張
  if sum(comb) != 3: continue
  # 雖然是 3 張，但也要確認是不是面子
  if checkSets(list(hand)):
    # 找到符合條件的手牌
    found += permutation(list(hand)) # 紀錄次數

其中 permutation 的部分只要用 $\dbinom{4}{k}$ 計算即可，k 為同樣張牌的個數。

# 計算 n 個裡面取 r 個的種類
def ncr(n, r):
  r = min(r, n-r)
  numer = reduce(op.mul, range(n, n-r, -1), 1)
  denom = reduce(op.mul, range(1, r+1), 1)
  return numer // denom
# 有多少種不同的選擇
NCR = [ncr(4, i) for i in range(5)]
def prob(hand):
  p = 1
  for i in range(len(hand)):
    p *= NCR[hand[i]]
  return p

以下列出其中幾個找出來符合條件的結果：

如果說要找 1 組以上，那就調整一下參數即可。

使用上方的方法，我們可以計算出特定一種花色下，符合面子條件的個數，並分別計算 a, b, c。

至於計算字牌 1 組對子的方式只要調整一下就可以了：

# 字牌有 7 種，每個共有 0 張到 4 張
numEachTile = [list(range(5)) for i in range(7)]
allPossibleHands = list(itertools.product(*numEachTile))

# 對於每種字牌的手牌
for hand in allPossibleHands:
  # 由於我們要 1 組對子，因此拿 2 張
  if sum(comb) != 2: continue
  # 確認是不是對子
  if checkPair(list(hand)):
    # 找到符合條件的手牌
    found += permutation(list(hand)) # 紀錄次數

那在計算出 a, b, c, d 之後，我們就可以全部相乘起來，找到在 “萬拿 1 組面子，筒也拿 1 組面子，條拿 3 組面子，字拿 1 個對子” 的狀況下的胡牌手牌個數

判斷面子和對子

上面提到的方法，看起來沒問題，寫起來不難。

但如果我今天要找萬有 2 組面子，怎麼樣才能有效率地判斷呢？

更甚至，如果今天萬有 5 組面子和 1 組對子，那到底要怎麼判斷才快呢？

在打麻將的時候，其實就常常遇到這個問題吧？

這篇 paper¹ 裡有提到快速判斷胡牌的方法，我們可以拿來判斷問題。

單純只有面子

我們先考慮沒有對子的時候。

萬筒條

我們從數字 1 開始檢查。

• 如果這個數字數量 $\geq 3$ 個，那我們直接拿走一組刻子 (三張一樣的)。
• 如果數量 $\geq 0$ 個，但是不滿 3 個，那我們判斷順子，也就是向後看兩個，判斷是否有順子，有就拿走，沒有就代表不符合條件。
• 如果數量 $= 0$ 個，我們就換下個數字檢查。

因為我們只有剛好足夠組成條件的牌，例如萬要 1 組面子，我們手上就只有 3 張，要有多的牌，那一定就組不成了。

舉例如果現在要判斷是否為 2 組面子，手牌呈現如下：

從數字 1 開始，由於有 4 張，我們首先拿走 3 張，剩下這些：

由於數字 1 只剩下 1 張，因此檢查順子，剛好有 1 組順子，於是就拿走，剛好沒了。

由於後面都沒有了，就一直跳下一個數字，直到數字 9 結束後都沒有錯誤，該手牌即為我們要找的。

我們再看一組錯誤的，現在要判斷是否為 3 組面子，手牌如下：

從數字 1 開始，因為沒有，換看數字 2。

由於數字 2 不到 3 張，因此看順子，由於數字 2 可以湊成一組順子，剩下：

可以看到數字 2 和數字 3 湊不成順子，因此這手牌不含有 3 組面子。

字牌

萬筒條結束了，那字怎麼辦？

字由於沒有順子，因此簡單的多，就直接看各數字張數。

• 數量為 0 或是 3：符合條件。
• 數量為 1 或是 2：不符合條件。

由於字牌只能組成刻子，因此不是 0 張就是 3 張。

像是下列手牌就不是我們要找的字含有 1 組面子：

因為東和西分別為 2 張和 1 張，不是 0 或是 3。

面子 + 對子

那如果我們考慮更複雜的情況，今天要判斷 5 組面子和 1 組對子。

其實換個想法，既然對子只有一組，那我們假設所有對子的情況，然後將對子剔除，剩下的跑只有面子的判斷方法不就好了嗎！！！

用這個方式，假設對子的情況只要有一個判斷成功，那就是成功了。

舉例，今天要找 2 組面子和 1 組對子。

由於對子為兩張，因此只要假設數字有超過 2 張的就好了。

• 假設 1：
  •   為對子，剩下  
  • 明顯剩下的沒有 2 組面子。
• 假設 2：
  •   為對子，剩下  
  • 剩下剛好     一組，     為一組。

雖然假設 1 錯誤，但假設 2 通過，所以手牌符合條件。

結果

好啦，說了那麼多方法，那到底本貓我到底是不是非洲人？

台灣麻將一共有 1,554,490,175,889,888 組胡牌手牌。

如果算上機率的話 (除以 $\dbinom{136}{17}$) 大約為 0.0000008424 ($\frac{1}{1,187,130}$)。

換句話說就是 119 萬次才會出現一次，我想我沒有打過那麼多次的麻將… 所以我不是非洲人！！！

順帶一提，大樂透的頭獎機率要 1400 萬次才會中一次。

恩…….我已經兩年沒有中發票了，我還是先不要嘗試好了。

Reference

• 本篇麻將牌都由 FluffyStuff 製作的麻將牌圖片 Link